Каковы необходимые и достаточные признаки бестселлера?


. Учебные работы студентов специальности прикладная математика Одесского национального университета имени И.И.Мечникова по курсу «Интернет технологии».  Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума. Точка называется точкой локального максимума функции , если выполняется условие: Аналогично точка называется точкой локального минимума функции , если выполняется условие:
Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.. Если точка — точка экстремума функции , то она критическая.. По условию точка — точка экстремума функции по теореме Ферма производная точка является критической.. Найти экстремум функции . Найдем производную этой функции: критические точки задаются уравнением . Корни этого уравнения и .. Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: и в точке  функция имеет минимум, равный -4, а в точке функция имеет максимум, равный 0.. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.. Рассмотрим функцию . Построим график этой функции:. Производная данной функции в точке по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.. Пусть функция определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки и непрерывна в этой точке. Тогда:
Пусть, например, меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку на сегменте Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: , . Поскольку при переходе через точку функция меняет знак с «-» на «+», то и , то Аналогично рассмотрим сегмент , получим   — точка строгого минимума функции.. Если — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная меняет знак при переходе через точку . Пусть дана функция , она определена в некоторой окрестности точки , ее первая производная и пусть , тогда:. Докажем теорему для первого случая, когда . По скольку непрерывна, то на достаточно малом интервале , т.к , то возрастает в этом интервале

, значит на интервале и  на интервале . Таким образом функция убывает на интервале и возрастает на интервале по первому достаточному условию экстремума функция в точке имеет минимум. Аналогично доказывается второй случай теоремы.. Если и , то функция может и не иметь экстремум в точке . Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть , и , Тогда:. Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки с остатком в форме Пеано: . По скольку все производные до порядка включительно равны нулю получим: Запишем полученное выражение в виде:
Выражение . Пусть , . Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку зависит от четности . Последний факт и доказывает теорему.. 0 из 4 заданий окончено . Тест для проверки знаний по теме «Экстремум функции».. Вы уже проходили тест ранее
Вы не можете запустить его снова. . Тест загружается… . Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест. . Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 4. Вы набрали 0 из 0 баллов (0) . Какая точка называется стационарной?. Верно ли то, что функция имеет локальный минимум в точке ?. Выберите необходимые условия выполнения третьего достаточного условия строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух:. Пусть дана функция . В какой точке достигается экстремум?
Ссылаетесь на теорему Ферма или лему Ферма? И нужна именно Википедия? Наши ничего не писали про «производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю». Разберитесь с формулировками вопросов-ответов в тестах. Они неточны. . В самом начале ошибка в формулировке. «Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.» Экстремум требует смену знака производной при переходе через критическую точку

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *