Как доказать, что сумма углов в вершинах пятиугольной звезды равна 180 гр.?


В окружность вписана пятиконечная звезда ABCDЕ.
При этом дуги АВ и АЕ имеют одинаковую градусную меру. Пусть F и G — точки пересечения АD и CE, AC и ВD соответственно. Найти угол между прямыми BE и FG. . Сломали уже всю голову, может кто-то тут супермозг?. задан 23 Ноя ’15 6:20. изменен 23 Ноя ’15 6:21 .
@falcao: Спасибо за ответ. То есть мы оба понимаем, что вершины пятиконечной звезды находятся в углах неправильного пятиугольника. Отсюда понятно, что прямые параллельными быть не могут, так как точки F и G будут находиться на разном расстоянии относительно прямой ВЕ, потому что параллельность этих двух прямых возможна только в правильном пятиугольнике. Следовательно угол между прямыми — не ноль…. @Вальдемар: откуда Вы сделали вывод, что в 5-угольнике, отличном от правильного, точки F и G будут находиться на разном расстоянии от прямой BE?. @falcao: Я считаю, что если точки F и G будут находиться на одинаковом расстоянии от прямой BE, то это будет частный случай и должен быть правильным пятиугольник. Не знаю, как доказать, что это не частный случай и что этот случай может встретиться в неправильном пятиугольнике, а также то, что он может попасться со случаем, когда эти прямые не параллельны в равных условиях по теории вероятности..
@falcao: Понимаете, если параллельность соблюдается, когда нам в условии дают, что дуги АВ и АЕ имеют одинаковую градусную меру, то получается, что как бы мы не поставили точки С и D, это не мешает соблюдению параллельности, но это же не так. Если подвигать эти точки по окружности, прямая FG будет «ходить» и не всегда быть параллельной.. @Вальдемар: я, видимо, понял, что Вы имеете в виду, но это соображение не проходит. Мы может зафиксировать точки A, B, E и далее менять положение C, D. Можно даже позволить себе зафиксировать C, меняя только D. Прямая BE всё время на месте, а GF двигается. Следует ли из этого, что она будет когда-то занимать не параллельное положение? Это было бы верно, если бы G не двигалась, а F двигалась.
Тогда бы GF образовывала переменный угол. Но у нас этого нет, так как при фиксации A, B, C, E и движении только одной D, обе точки G и F подвижны! Поэтому отсюда ничего не следует.. @falcao: Теперь все понятно. Но хорошо, даже если это не мешает тому, что FG двигается, все-равно один момент в решении не проходит. Точка D не всегда лежит на окружности, которой вы описываете FCG. Я это увидел сейчас, когда двигал только точку D. «Ввиду равенства углов» — признак не подходящий.

Я нигде в Инете не нашел такого правила.. @Вальдемар: то, что Вы чего-то не нашли, ничего не значит. Речь идёт о простом и часто используемом геометрическом факте. Представьте себе хорду окружности, пусть это будет XY. Будем рассматривать дугу окружности из одной полуплоскости. Все точки Z на дуге дают равные вписанные углы, равные $%\alpha$%. Если точку Z сдвинуть внутрь круга, то угол $%XZY$% увеличится и станет больше $%\alpha$%.
Это очень легко доказывается. Если Z сдвинуть во внешнюю часть круга, угол уменьшится. Значит, из равенства углов $%XZ_1Y$% и $%XZ_2Y$% следует, что точки $%Z_1$%, $%Z_2$% лежат на одной окружности.. Углы ACE и ADB равны, так как опираются на дуги одинаковой величины (с учётом того, что C лежит на AE, и D лежит на AB). Значит, равны смежные им углы FCA (он же FCG) и GDA (он же GDF). . Опишем окружность относительно треугольника FCG.
Ввиду равенства углов, точка D лежит на этой окружности, то есть FGDC вписанный. Отсюда $%\angle FGD=180^{\circ}-\angle FCD=\angle ECD=180^{\circ}-\angle EBD$% (последнее — по причине того, что CDBE вписанный.. Мы получили, что сумма углов FGD и EBD равна 180 градусам, откуда следует параллельность прямых BE и GF, то есть угол между ними нулевой.. отвечен 23 Ноя ’15 9:35. Супермозг есть! Доказано Евклидом. @knop: «проверено электроникой» (с) :). Большое спасибо Вам! Я догадывался, что как-то необходимо доказать, что эти прямые параллельны и это было видно даже на рисунке и в таком случае угол был бы 0 градусов, но не смог это доказать.
Спасибо. Есть такой момент: могли бы Вы предоставить рисунок к задаче? Потому что как я черчу, таковое не подходит. Жаль, не могу загрузить свою картинку (нет пока репутации).. @Вальдемар: я не умею создавать картинки электронными средствами. За всё время пребывания на форуме не сделал ни одной.. Чтобы рисунок совпал с тем, который я имел в виду, достаточно нарисовать звезду, близкую к правильной. То есть ADBEC (по часовой стрелке) лежат примерно в вершинах правильного 5-угольника..
А может быть пятиугольник не правильным?. @Вальдемар: для меня этот вопрос звучит так же странно, как если бы кто-то спросил, а бывают ли не равные друг другу числа? Или: а бывают ли 4-угольники кроме квадратов? 🙂 Во-первых, пятиугольник может иметь сколь угодно «неправильную» форму — достаточно нарисовать первый попавшийся. Во-вторых, даже если он вписан в окружность, то разделите её на 5 не равных дуг — получите 5-угольник с вершинами в точках деления, отличный от правильного.. Конечно Вы правы, но я не правильно задал вопрос. На вашем чертеже, как я понял пятиугольник правильный. Но в условии не сказано, что он правильный, так как даны только две равные дуги. Исходя из этого вершина D будет лежать на окружности описываемого треугольника FCG только в частном случае..
@Вальдемар: рисунок можно вообще не делать — он служит только для иллюстрации. К тому же я говорил о том, что его надо нарисовать только «близким» к правильному. В решении используется то, что дуги AB и AE равны, а больше никаких равенств дуг не используется. Поэтому, даже если на рисунке какие-то ещё дуги будут близки к равным, то это в решении не используется, и о частном случае речь не идёт.. Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.. задан 23 Ноя ’15 6:20. обновлен25 Ноя ’15 0:05.