Наименьшее или найменьшее: как правильно пишется?


. С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования… Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. . Следует отметить, что наибольшее и наименьшее значение функции обычно ищется на некотором интервале X, который является или всей областью определения функции или частью области определения
Сам интервал X может быть отрезком , открытым интервалом , бесконечным промежутком . . В этой статье мы будем говорить о нахождении наибольшего и наименьшего значений явно заданной функции одной переменной y=f(x). . Навигация по странице.. Кратко остановимся на основных определениях.
Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство . . Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство . . Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе . . Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль
. Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка. . Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.
Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:»Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции. . Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится
. На первом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри отрезка [-6;6]. . Рассмотрим случай, изображенный на втором рисунке. Изменим отрезок на [1;6]. В этом примере наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а наибольшее — в точке с абсциссой, соответствующей правой границе интервала.
На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции. . На открытом интервале. На четвертом рисунке функция принимает наибольшее (max y) и наименьшее (min y) значения в стационарных точках, находящихся внутри открытого интервала (-6;6). . На интервале [1;6) наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а про наибольшее значение мы ничего сказать не можем. Если бы точка x=6 была частью интервала, тогда при этом значении функция принимала бы наибольшее значение
Этот пример изображен на рисунке №5. . На рисунке №6 наименьшее значение функции достигается в правой границе интервала (-3;2], о наибольшем значении никаких выводов сделать нельзя. . В примере, представленном на седьмом рисунке, функция принимает наибольшее значение (max y) в стационарной точке с абсциссой x=1, а наименьшее значение (min y) достигается на правой границе интервала. На минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к y=3.
На интервале функция не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. При стремлении к x=2 справа значения функции стремятся к минус бесконечности (прямая x=2 является вертикальной асимптотой), а при стремлении абсциссы к плюс бесконечности, значения функции асимптотически приближаются к y=3. Графическая иллюстрация этого примера приведена на рисунке №8. . Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. . Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1;4]; на отрезке [-4;-1]. . Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть . Оба отрезка попадают в область определения. . Находим производную функции по правилу дифференцирования дроби:
Очевидно, производная функции существует во всех точках отрезков [1;4] и [-4;-1]. . Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x=2. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок [1;4]. . Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x=1, x=2 и x=4:
Следовательно, наибольшее значение функции достигается при x=1, а наименьшее значение – при x=2. . Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки): . Графическая иллюстрация. . Прежде чем ознакомиться с алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале рекомендуем повторить определения одностороннего предела и предела на бесконечности, а также способы нахождения пределов.
Проверяем, является ли интервал X подмножеством области определения функции. . Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в интервале X (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту. . Определяем все стационарные точки, попадающие в промежуток X. Для этого приравниваем производную функции к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни
. Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в интервал, то переходим к следующему пункту. . Вычисляем значения функции в стационарных точках и точках, в которых не существует первая производная функции (если такие точки есть). . Дальнейшие действия зависят от интервала X.
Если интервал X имеет вид: [a;b), то вычисляем значение функции в точке x=a и односторонний предел ; (a;b], то вычисляем значение функции в точке x=b и односторонний предел ; (a;b), то вычисляем односторонние пределы ; , то вычисляем значение функции в точке x=a и предел на плюс бесконечности ; , то вычисляем односторонний предел и предел на плюс бесконечности ; , то вычисляем значение функции в точке x=b и предел на минус бесконечности ; , то вычисляем односторонний предел и предел на минус бесконечности ; , то вычисляем пределы на плюс и минус бесконечности . . Делаем выводы, отталкиваясь от полученных значений функции и пределов. Здесь может быть масса вариантов. К примеру, если односторонний предел равен минус бесконечности (плюс бесконечности), то о наименьшем (наибольшем) значении функции ничего сказать нельзя для данного интервала. Ниже разобраны несколько типичных примеров. Надеемся подробные описания их решения помогут Вам усвоить тему
Рекомендуем вернуться к рисункам с №4 до №8 из первого раздела этой статьи. . Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервалах: (-3;1](-3;2)[1;2). Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль: . Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.
Продифференцируем функцию: . Очевидно, производная существует на всей области определения функции. . Найдем стационарные точки. Производная обращается в ноль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3;1] и (-3;2).
Для первого промежутка вычисляем значение функции при x=-4 и предел на минус бесконечности:. Так как , то , а о наименьшем значении функции выводов сделать нельзя. Можно лишь утверждать, что значения функции ограничены снизу значением -1 (на минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к прямой y=-1). . Второй интервал интересен тем, что не содержит ни одной стационарной точки и ни одна из его границ не является строгой. В этом случае мы не сможем найти ни наибольшего, ни наименьшего значения функции. Вычислив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к минус трем слева, мы лишь сможем определить интервал значений функции:
Следовательно, значения функции находятся в интервале при x из промежутка . . Для третьего промежутка (-3;1] вычислим значение функции в стационарной точке и при x=1, а также односторонний предел, при стремлении аргумента к -3 справа:. Следовательно, наибольшее значение на этом интервале функция принимает в стационарной точке , наименьшее значение функции мы вычислить не можем, но значения функции ограничены снизу величиной -4. . Для интервала (-3;2) воспользуемся результатами из предыдущего пункта и еще вычислим односторонний предел при стремлении к двойке слева:. Поэтому , наименьшее значение определить нет возможности, значения функции ограничены снизу величиной -4
. Результаты предыдущих двух пунктов позволяют утверждать, что на интервале [1;2) наибольшее значение функция принимает при x=1, наименьшее значение найти нельзя, значения функции ограничены снизу величиной -4. . На промежутке функция не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения.. То есть, на этом интервале функция принимает значения из промежутка . . Вычислив значение функции при x=4, можно утверждать, что и на плюс бесконечности функция асимптотически приближается к прямой y=-1

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *